Réseaux de Pétri et modélisation des systèmes

1. Introduction

Les Réseaux de Petri (abréviation RdP) ont été introduits par le mathématicien Allemand Carl Adam Petri dans sa thèse "Communication avec des Automates" en Allemagne à Bonn en 1962, d’où leur appellation Réseaux de Petri (ou Petri Nets en anglais). Ces derniers méritent bien leur appellation car la thèse de Carl Adam Petri a présenté un certain nombre d’idées fondamentales du modèle. Mais la théorie de RdP en sa totalité, telle que nous la connaissons actuellement est le résultat de fusionnement et de contribution directe ou indirecte des travaux de plusieurs chercheurs de différentes universités et de différents laboratoires.

Les Réseaux de Petri sont des outils à la fois graphiques et mathématiques permettant de modéliser le comportement dynamique des systèmes à évènements discrets. Leur représentation graphique permet de visualiser d’une manière naturelle le parallélisme, la synchronisation, le partage de ressources, les choix (conflits), …etc. Leur représentation mathématique permet d’analyser le modèle pour étudier ses propriétés et de les comparer avec le comportement du système réel.

Les réseaux de Petri permettent la modélisation dans le domaine de la production manufacturière, la robotique, les trafics des véhicules, la logistique, les réseaux de communications.

2. Définition

Un réseau de Petri simple est un graphe composé de Places (les ronds), de Transitions (les rectangles) et d'Arcs orientés (les flèches). Ces derniers relient obligatoirement une Place et une Transition (ou vice-versa), il ne peut donc pas y avoir de nœud (Place ou Transition) liée à un nœud du même type par un Arc.

Exemple de Réseau de Petri

Exemple de Réseau de Petri

Les places décrivent les états possibles du système ou des conditions, et les transitions permettent de modéliser les événements ou les actions qui font basculer le système d’un état à un autre (les changements d’état). Les places peuvent contenir des Jetons, des poids peuvent être associés aux arcs pour indiquer le nombre de Jetons requis dans la Place amont pour que la Transition soit sensibilisée.

Eléments du réseau de Petri 

Il est représenté par un quadruplet Q=P, T, I, O tel que : P = {Pi}, i  {1,.., n} est un ensemble fini et non vide de places.

T = {Tj}, {1,.., m} est un ensemble fini et non vide de transitions. : les ensembles P et T sont disjoints.

I : est l’application d’incidence avant (Pré) : I : P×T → (ensemble des entiers naturels), correspondant aux arcs directs des places vers les transitions.

O : est l’application d’incidence arrière (Post) : O : T×P → correspondant aux arcs directs liant les transitions aux places.

Quelques interprétations typiques de transitions et de places

Cette définition permet d'aborder la description d’un réseau de Petri algébriquement et de transcrire chaque réseau de Petri sous forme de matrice W, dite d'incidence. L'évolution du marquage du réseau de Petri peut alors être observée. Le calcul algébrique est l'outil idéal pour gérer cette évolution de marquage. Chaque marquage et chaque séquence de franchissement sont représentés par un vecteur (dit de marquage, ou de franchissement). Ceci signifie que le réseau de Petri, est loin de n’être qu’un outil graphique. Le marquage d’un réseau de Petri est précisé par la présence à l'intérieur des places d'un nombre fini (positif ou nul), de marques ou de jetons. Une place est donc vide ou marquée. Le nombre de marques contenu dans une place pi est noté M (pi). Une place donc peut représenter une ressource du système (un stock par exemple), elle peut contenir plusieurs jetons (Exemple dans stock, le nombre de jetons peut indiquer le nombre de pièces stockées).

Exemple d’un réseau de Pétri marqué modélisant le déroulement d’un appel téléphonique filaire 

Donc un réseau de Petri marqué est un doublet R=R’, M0 dans lequel R’ est un réseau de Petri non marqué et M0 un marquage initial. Le marquage du réseau M est défini par le vecteur de ces marquages. Le marquage à un certain instant définit l’état du réseau de Petri, ou plus précisément l’état du système décrit par le réseau de Petri.